【作者】
文_ 李開周 圖_ 圖蟲創意、《顯微鏡下的大明之絲絹案》官微 設計_李雅婷/旅讀
2023年6月號 第136期
2023-06-05
李開周老師一邊回顧現代網劇，一邊探討明朝的土地清丈和相關的數學技能。
一樁發生於萬曆年間的審判，掀起了一場震動江南的風波，還與朝廷即將全面推行的土地清丈和均平稅賦政策牽扯起來⋯⋯網劇《顯微鏡下的大明之絲絹案》除了講述江南絲絹案始末，其中，高效率的「推步聚頂之術」更展現算術之奇，距今百年前的明朝，數學水平真的如此高超嗎？
今年二月份，愛奇藝網劇《顯微鏡下的大明之絲絹案》首播，劇中多次呈現一種神奇的「推步聚頂之術」，用於測量那些形狀極不規整的「妖田」。面對妖田，常用的測量方法和面積公式都派不上用場，只有使出推步聚頂之術，才能又快又準地解決問題。
本劇以明朝為歷史背景，明朝真的有過推步聚頂之術嗎？我們不妨一邊回顧劇情一邊回看歷史，探討一下明朝的土地清丈和相關的數學技能。
一場因絲絹引發的風暴
故事發生在明朝中葉，主角叫帥家默，金安府金華縣人，父母雙亡，性格自閉，絲毫不通人情世故，但卻極具數學天分，故此得名「算呆子」。
帥家默查閱官府檔案時，偶然發現金華百姓每年要繳納三千五百三十兩白銀的「人丁絲絹稅」，已經連繳一百多年，而在金安府治下八個縣當中，這筆稅賦只有金華一縣承擔，其他七縣均未分攤。帥家默向金華知縣揭露此事，知縣不理，他便去知府衙門和巡按衙門提告，卻掀起震動江南的一場風波，還與朝廷即將全面推行的土地清丈和均平稅賦政策牽扯起來⋯⋯
這段劇情是有歷史原型的，相關史事詳載於明朝萬曆七年（西元一五七九年）定稿的《絲絹全書》。編劇創作時，核心故事未變，但人名、地名和稅賦數目均有改動。在《絲絹全書》中，帥家默本名帥嘉謨，金安府本為徽州府，金華縣本為徽州歙縣，歙縣每年多繳的人丁絲絹稅並非三千五百三十兩白銀，而是八千七百八十匹絲綢，徽州府當時治下也不是八個縣，而是六個縣。劇中那位本來與帥家默對簿公堂、後來又從反派變成正派的訟師程仁清，在《絲絹全書》裡本名程任卿，是徽州府婺源縣的秀才。事實上，連《絲絹全書》這部文獻都是由程任卿編寫完成的。
明朝算術，好比藝術
有必要說明的是，本劇總編劇馬伯庸仔細研究過《絲絹全書》，他先根據《絲絹全書》創作歷史隨筆，使其成為《顯微鏡下的大明》一書的第一篇章，又在歷史隨筆的基礎上寫出這部同名網劇。
馬伯庸不僅擅長講故事，也擅長讀歷史，從劇中出現的計算道具和測量道具可以看出，他必定參考了明朝中葉最流行的數學書籍《算學寶鑑》和《算法統宗》。比如說，每集片頭都有一個鏡頭，用紅、黃、綠三色的小木棒和草莖組成「 」符號，其中小木棒是明朝及明朝以前數學家常用的算籌，而這組用小木棒和草莖組成的符號就相當於數字三五三〇。再比如第十集，主角帥家默使用一些奇怪的符號做計算，那些符號在明朝叫「賬碼」，是阿拉伯數字普及以前中國數學家普遍使用的數字系統。
又比如說，帥家默測量土地時，常用一種仿佛現代風箏線輪的放線工具，其樣式在《算法統宗》中繪有插圖，是明朝數學家程大位發明的「新丈量步車」。還有本劇第七集，帥家默與同樣愛好數學的鄧知縣探討土地丈量之術，提到「廣田」、「圭田」、「箕田」、「弧田」，這些術語在明朝數學書籍裡都很常見，分別指長方形地塊、三角形地塊、梯形地塊、扇形地塊。
帥家默與摯友豐寶玉一同提告人丁絲絹稅一案。其中，擁有敏銳經商嗅覺的豐寶玉姐姐豐碧玉，提供了諸多幫助。©《顯微鏡下的大明之絲絹案》官微
「妖田」難敵數學奇才
長方形、三角形、梯形、扇形，都有現成的面積公式，易於測量和計算，但如果遇到劇中所說的「妖田」，那就很難辦了。妖田這個詞，現存的明朝數學書籍裡並未出現，元朝《農書》裡倒是有，是指灌溉之後迅速乾涸的農田，與劇中涵義並不相同。編劇可能是從《農書》裡借用了這個詞，也可能是碰巧創造了一個同音但不同義的概念，表示形狀極不規則的多邊形地塊。
古人怎樣測量不規則地塊的面積呢？通常使用「割補之術」：先將地塊補成長方形，再切割成一個個三角形，匯總出所有三角形的面積，再減去所補圖形的面積，即是該地塊的真實面積。在第七集，帥家默與鄧知縣比賽計算同一塊妖田的面積，都不約而同地使用割補之術，而帥家默的心算能力更好，從速度而不是計算方法上擊敗了鄧知縣。有沒有比割補之術更好的方法呢？帥家默隱約記得，小時候曾聽父親帥敦誠講過一種無需割補、直接測量的技術，也就是貫穿本劇的推步聚頂之術，至於技術細節，他實在記不得了。直到第十四集，他突然想通父親當年的算法，還背誦出推步聚頂的口訣：「先牽經緯以衡量，再點原初標步長。田形取頂分別數，再算推步知地方。」
單憑這四句口訣，我們肯定搞不懂推步聚頂究竟是怎麼一回事，然而參照劇中的操作，就能看出端倪。劇中帥家默丈量一塊最難計算的妖田，他先在該妖田的每一個頂點打樁，接著橫平豎直地拉開繩尺，以繩尺左側交匯處為原點，分別測算各個頂點到原點的長寬步數，將這些數字成對排列，交叉計算⋯⋯
田野間的腦力激盪場
曾有觀眾為帥家默的計算過程提出解釋，說推步聚頂運用了微積分。其實，以上測量和計算過程使用的數學原理並非微積分，而是「鞋帶公式」。鞋帶公式是利用坐標計算不規則多邊形面積的法寶，簡單說，在測量地塊之前，先要建立一個平面直角坐標系，分別測量該地塊所有頂點的坐標，再沿著同一個方向（順時針或逆時針）為這些坐標依次編號，列成一張上下排列的數表，再像穿鞋帶一樣，將相鄰坐標的x值和y值交叉相乘，循環相減，將差相加，求得總和，將總和取絕對值，再除以二，即是該地塊的面積。
舉例說， 有一塊不規則五邊形農田，共有五個頂點， 順時針測量， 這些頂點的坐標分別是 ,4、5,11、12,8、9,5 、5,6 。依據鞋帶公式， 相鄰坐標交叉相乘， 循環相減：3×11-4×5，5×8-11×12，12×5-8×9，9×6-5×5，5×4-6×3 ；得到五個數：13、-92、-12、29、2；五數相加，總和是-60；取絕對值，得60；再除以二， 得30。所以，這塊土地的面積就是三十。如果測量各坐標時用的單位是丈，面積即為三十平方丈，明朝六十平方丈為一畝，這塊地的面積就是半畝。
現代公式，古代演繹
鞋帶公式是德國數學家德雷斯特（Albrecht LudwigFriedrich Meister） 在西元一七六九年提出的。幾十年後，另一位德國數學家高斯給出該公式的證明，並且用矩陣運算予以簡化，所以，這個公式又被稱為「高斯面積公式」。無論是德雷斯特提出鞋帶公式，還是高斯將該公式轉化為矩陣運算，其時間都晚於明朝，所以帥家默不可能未卜先知地使用這個公式。
那麼明朝數學家有沒有發明與鞋帶公式相近的測量術呢？沒有。從開國皇帝朱元璋開始，明朝就格外重視土地清丈，試圖查清全國每一塊農田的真實面積，從而制定出對全國農民都比較均平的賦稅政策。然而在測量技術上，明朝並沒有任何突破，採用的仍然是此前宋朝和更加久遠的漢唐時期的數學知識，只是將算盤給普及了而已。至於劇中呈現的推步聚頂，那是編劇對鞋帶公式的演繹，不是明朝已有的數學。
坦白說，從實際操作角度看，在電腦和全球衛星定位系統出現之前，用鞋帶公式測量面積只能是一種想像，因為它不僅需要建立坐標系，更需要地塊平整、無坡度、無坑窪、無視線阻隔，否則根本測不出各個頂點到坐標原點的真實距離。
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李開周
專欄作家，古代社會生活史研究者，擅長將生硬歷史以活潑生動方式呈現。出版書籍數十本，著作有《吃一場有趣的宋朝飯局》、《包公哪有那麼黑：你所不知道的包青天》、《千年房市：古人安心成家方案》與《誰說不能從武俠學數學？》等。
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